【对数求导法则公式】在微积分中，对数求导法是一种用于简化复杂函数求导的方法，尤其适用于涉及乘积、商或幂函数的复合函数。通过对函数取自然对数，可以将乘法转化为加法，幂运算转化为乘法，从而简化求导过程。以下是对数求导法则的主要公式及其应用场景的总结。
一、对数求导法则的基本原理
对于一个正函数 $ y = f(x) $，若其表达式较为复杂，可先对其两边取自然对数：
$$
\ln y = \ln f(x)
$$
然后对两边关于 $ x $ 求导，利用链式法则：
$$
\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} [\ln f(x)
$$
最后解出 $ \frac{dy}{dx} $：
$$
\frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{d}{dx} [\ln f(x)] = f(x) \cdot \frac{d}{dx} [\ln f(x)
$$
二、常用对数求导公式总结
| 函数形式 | 对数求导步骤 | 导数表达式 |
| $ y = u(x) \cdot v(x) $ | $ \ln y = \ln u + \ln v $ | $ y' = y \left( \frac{u'}{u} + \frac{v'}{v} \right) $ |
| $ y = \frac{u(x)}{v(x)} $ | $ \ln y = \ln u - \ln v $ | $ y' = y \left( \frac{u'}{u} - \frac{v'}{v} \right) $ |
| $ y = [u(x)]^{v(x)} $ | $ \ln y = v \ln u $ | $ y' = y \left( v' \ln u + v \cdot \frac{u'}{u} \right) $ |
| $ y = e^{u(x)} $ | $ \ln y = u(x) $ | $ y' = y \cdot u'(x) $ |
| $ y = a^{u(x)} $（$ a > 0 $） | $ \ln y = u(x) \ln a $ | $ y' = y \cdot u'(x) \ln a $ |
三、应用示例
例1：
函数 $ y = x^x $
对数求导：
$$
\ln y = x \ln x
$$
两边求导：
$$
\frac{1}{y} \cdot y' = \ln x + 1
$$
解得：
$$
y' = x^x (\ln x + 1)
$$
例2：
函数 $ y = \frac{(x+1)^2}{x^3} $
对数求导：
$$
\ln y = 2 \ln(x+1) - 3 \ln x
$$
两边求导：
$$
\frac{1}{y} \cdot y' = \frac{2}{x+1} - \frac{3}{x}
$$
解得：
$$
y' = \frac{(x+1)^2}{x^3} \left( \frac{2}{x+1} - \frac{3}{x} \right)
$$
四、注意事项
- 只能对正函数使用对数求导法，否则对数无意义。
- 在某些情况下，即使函数为负，也可以通过绝对值处理后再进行对数求导。
- 对数求导法适用于所有可以通过对数简化表达式的函数，尤其适合幂指函数和复杂乘积/商的情况。
通过合理运用对数求导法则，可以大大简化复杂函数的求导过程，提高计算效率与准确性。掌握这些基本公式和技巧，有助于在实际问题中灵活应对各种类型的求导任务。
