在解析几何中，向量的数量积是一个非常重要的概念。它不仅能够帮助我们理解向量之间的关系，还广泛应用于物理、工程等多个领域。为了更好地理解和运用这一概念，我们需要从坐标的角度来推导其公式。

首先，设两个向量分别为A(a₁, a₂)和B(b₁, b₂)，其中a₁、a₂分别是向量A在x轴和y轴上的分量，b₁、b₂同理。根据向量的定义，我们可以将这两个向量表示为：

A = (a₁, a₂)

B = (b₁, b₂)

接下来，我们需要计算这两个向量的数量积。数量积的定义是两个向量的模长乘以它们之间夹角的余弦值。但是在这里，我们希望通过坐标直接得出结果，因此采用另一种方法——利用投影的概念。

对于向量A和B，假设它们之间的夹角为θ。那么，向量A在向量B方向上的投影长度可以表示为|A|cosθ，而这个投影实际上就是向量A与向量B的分量在同一直线上的部分。因此，数量积就可以写成：

A·B = |A||B|cosθ

现在，我们将其转换为坐标形式。通过向量的坐标表示，我们知道：

|A|² = a₁² + a₂²

|B|² = b₁² + b₂²

同时，由于cosθ可以通过内积公式求得，即：

cosθ = (a₁b₁ + a₂b₂) / (√(a₁² + a₂²) √(b₁² + b₂²))

将这些代入到数量积的定义式中，我们得到：

A·B = (a₁² + a₂²)(b₁² + b₂²) [(a₁b₁ + a₂b₂) / (√(a₁² + a₂²) √(b₁² + b₂²))]

简化后可得：

A·B = a₁b₁ + a₂b₂

这就是二维空间中两个向量的数量积坐标公式。这个公式的推导过程表明，无论是在理论还是实际应用中，向量的数量积都可以通过简单的坐标运算来实现，极大地简化了计算过程。

总结来说，通过向量的坐标表示以及投影的概念，我们可以轻松地推导出向量数量积的坐标公式。这一公式的实用性和简洁性使其成为解决各种问题的重要工具。无论是学习数学还是从事相关领域的研究工作，掌握这个公式都是非常必要的。