【用待定系数法求二次函数的解析式】在初中和高中数学中，二次函数是一个重要的知识点。而“待定系数法”是求解二次函数解析式的一种常用方法，尤其在已知某些点或图像特征的情况下非常实用。本文将对如何使用待定系数法求二次函数的解析式进行总结，并通过表格形式展示不同情况下的解题步骤与公式。
一、基本概念
二次函数的一般形式为：
$$
y = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)
$$
其中，$ a $、$ b $、$ c $ 是常数，且 $ a \neq 0 $。
通过已知条件（如图象上的点、顶点、对称轴等），可以设定方程并求出这三个未知系数。
二、常见情况及解法总结
| 已知条件 | 一般式 | 顶点式 | 交点式 | 解题步骤 |
| 三点坐标 | $ y = ax^2 + bx + c $ | - | - | 代入三点坐标，建立三元一次方程组，解得 $ a, b, c $ |
| 顶点和一个点 | - | $ y = a(x-h)^2 + k $ | - | 代入顶点 $ (h,k) $ 和另一点，解出 $ a $ |
| 与 x 轴交点和另一个点 | - | - | $ y = a(x - x_1)(x - x_2) $ | 代入两个交点 $ x_1, x_2 $ 和第三个点，解出 $ a $ |
三、具体应用示例
示例1：已知三个点
设二次函数经过点 $ A(1, 2) $、$ B(2, 5) $、$ C(3, 10) $。
设解析式为 $ y = ax^2 + bx + c $，代入三点得：
$$
\begin{cases}
a(1)^2 + b(1) + c = 2 \\
a(2)^2 + b(2) + c = 5 \\
a(3)^2 + b(3) + c = 10
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
a + b + c = 2 \\
4a + 2b + c = 5 \\
9a + 3b + c = 10
\end{cases}
$$
解这个方程组可得：$ a = 1 $，$ b = 0 $，$ c = 1 $
所以解析式为：
$$
y = x^2 + 1
$$
示例2：已知顶点和一点
顶点为 $ (2, 3) $，且过点 $ (4, 7) $。
设解析式为 $ y = a(x - 2)^2 + 3 $，代入点 $ (4, 7) $：
$$
7 = a(4 - 2)^2 + 3 \Rightarrow 7 = 4a + 3 \Rightarrow a = 1
$$
所以解析式为：
$$
y = (x - 2)^2 + 3
$$
示例3：已知与 x 轴交点和一点
与 x 轴交点为 $ x = 1 $ 和 $ x = 3 $，且过点 $ (2, 4) $。
设解析式为 $ y = a(x - 1)(x - 3) $，代入点 $ (2, 4) $：
$$
4 = a(2 - 1)(2 - 3) \Rightarrow 4 = a(1)(-1) \Rightarrow a = -4
$$
所以解析式为：
$$
y = -4(x - 1)(x - 3)
$$
四、总结
待定系数法是一种根据已知条件设定函数形式，再通过代入数据求解未知参数的方法。掌握不同形式的二次函数表达式及其适用场景，能够更高效地解决相关问题。建议多做练习，熟悉各种情况下的解题思路，提高解题能力。
关键词：二次函数、待定系数法、解析式、顶点式、交点式、一般式
