在数学学习中，一元二次不等式是一种常见的代数问题，它涉及到一个未知数的平方项及其线性项和常数项的组合，并以大于、小于、大于等于或小于等于的形式呈现。这类问题的解决不仅需要扎实的基础知识，还需要一定的逻辑思维能力。本文将从基本概念入手，逐步讲解一元二次不等式的解法，帮助大家掌握这一知识点。
一、什么是“一元二次不等式”？
所谓“一元二次不等式”，是指形如 \( ax^2 + bx + c \, (\mathrm{op}) \, 0 \) 的表达式，其中 \( a \neq 0 \)，\( x \) 是未知数，\( a, b, c \) 是已知实数，而 \((\mathrm{op})\) 表示关系符号（如 \( >, <, \geqslant, \leqslant \)）。这种不等式的求解目标是找到满足该条件的所有 \( x \) 值。
例如：
- \( x^2 - 3x + 2 > 0 \)
- \( -2x^2 + 4x - 2 \leqslant 0 \)
二、解题步骤详解
1. 确定判别式
对于任意一元二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \)，其判别式定义为：
\[ \Delta = b^2 - 4ac \]
判别式的值决定了二次函数图像与 \( x \)-轴的交点情况：
- 当 \( \Delta > 0 \)，方程有两个不同的实根；
- 当 \( \Delta = 0 \)，方程有一个重根；
- 当 \( \Delta < 0 \)，方程无实根。
在解不等式时，判别式同样起到关键作用，因为它直接影响到解集的分布。
2. 求出根
通过公式 \( x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)，可以计算出对应方程的两个根（如果有）。记这两个根分别为 \( x_1 \) 和 \( x_2 \)，并假设 \( x_1 \leqslant x_2 \)。
3. 分析区间
根据根的位置以及系数 \( a \) 的正负号，可将整个实数范围划分为若干个区间。然后结合具体的关系符号，判断每个区间内的 \( x \) 是否满足原不等式。
4. 写出解集
最后，将所有符合条件的区间合并成最终解集即可。
三、实例解析
例题 1： 解不等式 \( x^2 - 5x + 6 > 0 \)
解答：
1. 判别式：\( \Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 \)。
2. 根：利用公式得 \( x_1 = 2, x_2 = 3 \)。
3. 区间分析：二次项系数 \( a = 1 > 0 \)，抛物线开口向上。因此，当 \( x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty) \) 时，函数值大于零。
4. 解集：\( x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty) \)。
例题 2： 解不等式 \( -x^2 + 4x - 4 \leqslant 0 \)
解答：
1. 判别式：\( \Delta = 4^2 - 4(-1)(-4) = 16 - 16 = 0 \)。
2. 根：只有一个重根 \( x = 2 \)。
3. 区间分析：二次项系数 \( a = -1 < 0 \)，抛物线开口向下。此时，仅当 \( x \geqslant 2 \) 时，函数值小于等于零。
4. 解集：\( x \in [2, +\infty) \)。
四、注意事项
1. 符号方向：注意不等式中的关系符号，确保解集符合要求。
2. 边界点处理：若关系符号包含等号，则需检查边界点是否属于解集。
3. 特殊情况：当判别式为零时，只有一个实根；当判别式为负时，无实根。
五、总结
掌握一元二次不等式的解法需要熟练运用代数技巧与几何直觉。通过上述方法，我们可以系统地解决各种类型的问题。希望本文能够为大家提供清晰的思路，助力数学学习！
