【分式不等式的解法】分式不等式是含有分式的不等式，其形式通常为 $\frac{f(x)}{g(x)} > 0$ 或 $\frac{f(x)}{g(x)} < 0$ 等。解决这类不等式的关键在于确定分母不为零，并分析分子与分母的符号变化情况。以下是常见的解法步骤和方法总结。
一、基本思路
1. 确定定义域：首先找出使分母 $g(x) \neq 0$ 的所有 $x$ 值。
2. 求出临界点：令分子 $f(x) = 0$ 和分母 $g(x) = 0$，得到关键点。
3. 划分区间：将数轴按临界点分成若干个区间。
4. 符号分析：在每个区间内判断分式的正负。
5. 写出解集：根据不等式方向，结合符号分析结果，写出最终解集。
二、常见类型及解法对比表
| 类型 | 不等式形式 | 解法步骤 | 注意事项 |
| 1 | $\frac{f(x)}{g(x)} > 0$ | 1. 求出 $f(x)=0$ 和 $g(x)=0$ 的根 2. 将数轴分为若干区间 3. 在每个区间内测试符号 4. 取正号区间（不包括使分母为零的点） | 分母不能为零，注意端点是否包含 |
| 2 | $\frac{f(x)}{g(x)} < 0$ | 同上，取负号区间 | 同上 |
| 3 | $\frac{f(x)}{g(x)} \geq 0$ | 同上，但包括分子为零的点 | 需特别注意等于零的情况 |
| 4 | $\frac{f(x)}{g(x)} \leq 0$ | 同上，但包括分子为零的点 | 同上 |
三、典型例题解析
例题1：解不等式 $\frac{x - 2}{x + 1} > 0$
- 步骤1：定义域为 $x \neq -1$
- 步骤2：分子为0时，$x = 2$；分母为0时，$x = -1$
- 步骤3：区间为 $(-\infty, -1)$、$(-1, 2)$、$(2, +\infty)$
- 步骤4：测试各区间符号：
- $(-\infty, -1)$：正
- $(-1, 2)$：负
- $(2, +\infty)$：正
- 步骤5：取正号区间，即 $(-\infty, -1) \cup (2, +\infty)$
答案：$x \in (-\infty, -1) \cup (2, +\infty)$
四、注意事项
- 分式不等式中，分母不能为零，必须排除这些点。
- 若分母是二次或高次多项式，可先因式分解再分析符号。
- 对于复杂分式，可考虑移项后通分，转化为整式不等式处理。
- 使用数轴标根法是一种直观有效的方法。
通过以上方法，可以系统地解决各种类型的分式不等式问题，提高解题效率和准确性。
