在数学的世界里，数字之间隐藏着无穷无尽的奥秘与规律。今天，我们来探讨一个有趣的问题——寻找一个满足以下条件的最小十位数：当这个数分别被2、3和5整除时，余数均为1。

问题解析

首先，我们需要明确几个关键点：

1. 十位数的定义：一个十位数是指大于等于10^9且小于10^10的整数。

2. 模运算的约束：对于给定的整数 \( N \)，它必须满足以下三个条件：

- \( N \mod 2 = 1 \)

- \( N \mod 3 = 1 \)

- \( N \mod 5 = 1 \)

从上述条件可以看出，\( N-1 \) 必须同时是2、3和5的倍数。因此，\( N-1 \) 应该是这些数的最小公倍数（LCM）的倍数。

最小公倍数计算

2、3和5的最小公倍数为：

\[

\text{LCM}(2, 3, 5) = 2 \times 3 \times 5 = 30

\]

这意味着 \( N-1 \) 必须是30的倍数，即：

\[

N = 30k + 1

\]

其中 \( k \) 是一个非负整数。

确定最小的十位数

为了找到最小的十位数，我们需要让 \( N \geq 10^9 \)。代入公式 \( N = 30k + 1 \)，我们得到：

\[

30k + 1 \geq 10^9

\]

解得：

\[

k \geq \frac{10^9 - 1}{30}

\]

通过计算：

\[

k \geq \frac{999999999}{30} \approx 33333333.3

\]

取最小整数 \( k = 33333334 \)，代入公式 \( N = 30k + 1 \)，得到：

\[

N = 30 \times 33333334 + 1 = 999999991

\]

验证结果

我们验证 \( N = 999999991 \) 是否满足条件：

- \( 999999991 \mod 2 = 1 \)

- \( 999999991 \mod 3 = 1 \)

- \( 999999991 \mod 5 = 1 \)

所有条件均成立，因此 \( N = 999999991 \) 是满足条件的最小十位数。

结论

通过严谨的推导与计算，我们找到了满足题目要求的最小十位数为 \( 999999991 \)。这个问题不仅展示了数学中模运算的魅力，还体现了逻辑推理的重要性。希望这篇分析能激发你对数学的兴趣，并鼓励你在日常生活中发现更多有趣的数学现象！