【幂级数收敛区间怎么求】在数学分析中，幂级数是研究函数展开和近似的重要工具。而幂级数的收敛性是其应用的基础。掌握如何求解幂级数的收敛区间，对于理解其性质和应用具有重要意义。

一、

幂级数的一般形式为：

$$

\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n

$$

其中 $a_n$ 是系数，$x_0$ 是中心点。我们通常关注的是这个级数在哪些 $x$ 值范围内收敛。

求幂级数的收敛区间，主要步骤如下：

1. 使用比值法或根值法：计算极限 $\lim_{n \to \infty} \left \frac{a_{n+1}}{a_n} \right$ 或 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}$，得到收敛半径 $R$。

2. 确定收敛半径 $R$：根据极限结果判断收敛半径。

3. 检查端点处的收敛性：当 $x = x_0 + R$ 和 $x = x_0 - R$ 时，分别代入原级数，判断是否收敛。

4. 写出最终的收敛区间：结合收敛半径与端点的收敛情况，得出完整的收敛区间。

二、表格总结

三、示例说明

以幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x - 1)^n}{n}$ 为例：

- 使用比值法：$\lim_{n \to \infty} \left \frac{(x - 1)^{n+1}/(n+1)}{(x - 1)^n/n} \right = x - 1$

- 收敛半径 $R = 1$

- 检查端点：

- 当 $x = 0$，级数变为 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$，发散（调和级数变号）

- 当 $x = 2$，级数变为 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n}$，发散

- 所以收敛区间为 $(0, 2)$

四、注意事项

- 若收敛半径为 0，则只在 $x = x_0$ 处收敛；

- 若收敛半径为 $\infty$，则在整个实数范围内都收敛；

- 端点处的收敛性需要单独验证，不能直接由收敛半径推断。

通过以上方法，可以系统地求得幂级数的收敛区间，从而更好地理解和应用幂级数。