【大学微积分必背公式】微积分是大学数学中非常重要的一门课程，它在物理、工程、经济学等多个领域都有广泛的应用。掌握一些关键的微积分公式，不仅有助于理解微积分的基本概念，还能在解题时提高效率。以下是一些大学微积分中必须掌握的核心公式，以加表格的形式呈现。
一、基本求导公式
微分是微积分中的基础内容，掌握常见函数的导数公式是学习微积分的第一步。
| 函数 | 导数 |
| $ x^n $ | $ nx^{n-1} $ |
| $ \sin x $ | $ \cos x $ |
| $ \cos x $ | $ -\sin x $ |
| $ e^x $ | $ e^x $ |
| $ \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ |
| $ a^x $ | $ a^x \ln a $ |
| $ \tan x $ | $ \sec^2 x $ |
| $ \cot x $ | $ -\csc^2 x $ |
二、基本积分公式
积分是微分的逆运算，也是微积分的重要组成部分。掌握常见的不定积分和定积分公式对于解决实际问题至关重要。
| 函数 | 不定积分 | ||
| $ x^n $ | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $） | ||
| $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ | ||
| $ \cos x $ | $ \sin x + C $ | ||
| $ e^x $ | $ e^x + C $ | ||
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln | x | + C $ |
| $ \frac{1}{1+x^2} $ | $ \arctan x + C $ | ||
| $ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $ | $ \arcsin x + C $ |
三、常用积分技巧
除了基本积分公式外，还需要掌握一些常见的积分方法，如换元法、分部积分法等。
1. 换元积分法（第一类）
若 $ u = g(x) $，则：
$$
\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du
$$
2. 分部积分法
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
四、泰勒展开与麦克劳林展开
泰勒展开是将函数表示为无穷级数的一种方法，麦克劳林展开是泰勒展开在 $ x=0 $ 处的特殊情况。
| 函数 | 麦克劳林展开式 | ||
| $ e^x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $ | ||
| $ \sin x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} $ | ||
| $ \cos x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} $ | ||
| $ \ln(1+x) $ | $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} $（$ | x | < 1 $） |
五、重要极限公式
在微积分中，一些特殊的极限公式非常有用。
| 极限 | 结果 |
| $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $ | $ 1 $ |
| $ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} $ | $ 1 $ |
| $ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} $ | $ 1 $ |
| $ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} $ | $ \frac{1}{2} $ |
六、牛顿-莱布尼兹公式（定积分计算）
$$
\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)
$$
其中 $ F(x) $ 是 $ f(x) $ 的一个原函数。
总结
大学微积分的学习离不开对公式的熟练掌握。上述内容涵盖了微分、积分、积分技巧、泰勒展开和重要极限等核心知识点。通过反复练习和记忆这些公式，可以显著提升解题效率，并为后续更复杂的数学知识打下坚实的基础。建议在学习过程中结合例题进行理解和应用，才能真正掌握这些重要的数学工具。
