【两向量相互垂直的充要条件】在向量几何中，两个向量是否垂直是判断它们之间关系的重要指标。理解两向量相互垂直的充要条件，有助于我们在解析几何、物理力学以及计算机图形学等领域中进行更准确的分析与计算。
一、基本概念
向量：具有大小和方向的量，通常用有向线段表示。
垂直：两个向量的方向互相成90度角，即它们的夹角为直角。
二、两向量相互垂直的充要条件
在二维或三维空间中，两向量相互垂直的充要条件可以通过点积（内积）来判断。
1. 点积法
设向量 $\vec{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n)$，$\vec{b} = (b_1, b_2, \dots, b_n)$，则：
- 充要条件：$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
其中，点积公式为：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n
$$
当且仅当点积为零时，两向量垂直。
2. 几何解释
从几何上看，若两个向量的夹角为 $90^\circ$，则它们满足垂直关系。
三、不同维度下的情况
| 维度 | 向量形式 | 垂直条件 |
| 二维 | $\vec{a} = (a_x, a_y)$ $\vec{b} = (b_x, b_y)$ | $a_x b_x + a_y b_y = 0$ |
| 三维 | $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$ | $a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = 0$ |
四、应用实例
例1：
已知 $\vec{a} = (3, 4)$，$\vec{b} = (-4, 3)$，判断是否垂直。
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \times (-4) + 4 \times 3 = -12 + 12 = 0
$$
结论：两向量垂直。
例2：
已知 $\vec{a} = (1, 2, -1)$，$\vec{b} = (2, -1, 0)$，判断是否垂直。
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 2 + 2 \times (-1) + (-1) \times 0 = 2 - 2 + 0 = 0
$$
结论：两向量垂直。
五、总结
| 内容 | 说明 |
| 定义 | 两向量夹角为 $90^\circ$ 的关系 |
| 判断方法 | 点积为零 |
| 数学表达 | $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ |
| 适用范围 | 适用于任意维数的向量 |
| 实际应用 | 解析几何、物理力学、工程计算等 |
通过以上内容可以看出，两向量相互垂直的充要条件非常简洁明了，只需计算它们的点积即可判断。这一性质在多个领域中都有广泛应用，是向量运算中的一个基础而重要的知识点。
