核心结论是 tan 公式也就是正切相关全套数学公式，基础定义公式为 tanα 等于 sinα 除以 cosα，除此之外还包含同角恒等变换公式 和角公式 差角公式 二倍角公式 半角公式 万能置换公式，这些 tan 公式是三角函数章节核心工具，做题的时候经常用来化简三角表达式 解三角方程 求极限 做积分求导运算。tan 公式全部建立在 tan 定义之上，因为 tan 本质是正弦余弦的比值，所以大部分 tan 公式都可以利用 sin 和 cos 对应的公式推导出来，同时要记住所有 tan 公式都有定义域限制，凡是 cos 等于零的角度，tan 公式本身不成立，使用之前要先确认角度取值范围。

基础定义与同角恒等 tan 公式

tanα 等于 sinα 除以 cosα

tanα 乘以 cotα 等于 1

1 加 tan 平方 α 等于 sec 平方 α

tan 负 α 等于负 tanα，这个就是奇函数对应的恒等式

和角差角 tan 公式

和角公式 tan (α 加 β) 等于 (tanα 加 tanβ) 除以 (1 减 tanα 乘以 tanβ)

差角公式 tan (α 减 β) 等于 (tanα 减 tanβ) 除以 (1 加 tanα 乘以 tanβ)

这个公式使用重点，分母不能等于零，如果分母等于零，说明 α 加 β 或者 α 减 β 等于二分之 π 加 kπ，此时 tan 不存在，公式失效。

二倍角 tan 公式

tan2α 等于 2tanα 除以 (1 减 tan 平方 α)

这个公式是由和角公式令 β 等于 α 直接推导得到，是高频考点，同样注意分母 1 减 tan 平方 α 不能等于零，也就是 tanα 不能等于正负 1，对应角度不能等于四分之 π 加二分之 kπ。

半角 tan 公式

tan 二分之 α 等于 sinα 除以 (1 加 cosα)

tan 二分之 α 等于 (1 减 cosα) 除以 sinα

tan 二分之 α 也可以写成正负根号下 ((1 减 cosα) 除以 (1 加 cosα))，正负号由二分之 α 所在象限决定

万能置换 tan 公式

令 t 等于 tan 二分之 α

sinα 等于 2t 除以 (1 加 t 平方)

cosα 等于 (1 减 t 平方) 除以 (1 加 t 平方)

tanα 等于 2t 除以 (1 减 t 平方)

万能置换 tan 公式最大作用是把全部三角函数转换成关于 t 的有理代数式，在三角积分里面非常常用，也就是经典万能代换。

全套 tan 公式对照表

使用注意要点

所有 tan 公式在微积分场景默认使用弧度制，如果题目是角度制，计算前要转换成弧度。很多同学容易记错和角 tan 公式的加减符号，分子和分母符号是相反的，分子相加的时候分母是减号，分子相减的时候分母是加号。tan 公式不能脱离定义域单独套用，遇到间断点要单独讨论，复合运算的时候，比如 tan2x 求导，还要结合链式法则，不能只记住 tan 公式本身。

【常见问题】

问题 1 tan 公式里面和角公式为什么分母不能等于零

回答 1 tan 公式的和角公式分母是 1 减 tanα 乘以 tanβ，分母等于零的时候，代表 α 加 β 落在 tan 没有定义的位置，此时 tan (α 加 β) 不存在，所以这个 tan 公式不能使用，做题前需要检查分母。

问题 2 tan 公式二倍角公式是怎么推导出来的

回答 1 tan 公式的二倍角公式，直接把 tan 和角公式里面的 β 替换成 α，就可以得到 tan2α 等于 2tanα 除以 (1 减 tan 平方 α)，所以二倍角 tan 公式本质就是和角 tan 公式的特殊情况。

问题 3 tan 公式万能置换有什么用途

回答 1 tan 公式万能置换也就是万能代换，这个 tan 公式可以把 sin cos tan 全部转换成同一个变量 t 的有理函数，处理复杂三角积分的时候，利用这个 tan 公式可以把三角积分转化成普通有理函数积分，大幅降低计算难度。

【免责申明】

本文内容仅作为数学学习参考，tan 公式使用前请核对定义域与角度单位，若用于考试或者专业计算请自行核对推导步骤。